5. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой DD₁ и плоскостью A₁BC₁.

Положим A(0,0,0), B(a,0,0), C₁(a,a,a), A₁(0,0,a), D(0,a,0), D₁(0,a,a). Направляющий вектор DD₁ равен (0,0,a). Нормальный вектор плоскости A₁BC₁: (B−A₁)×(C₁−A₁)=(a²,−a²,a²). Следовательно, для угла φ между прямой и плоскостью:

\(\sin\varphi=\dfrac{|(0,0,a)\cdot(a^2,-a^2,a^2)|}{a\cdot a^2\sqrt{3}}=\dfrac1{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\arcsin\dfrac1{\sqrt{3}}\approx35{,}3°\).