6. В кубе A…D₁ найдите угол между прямой A₁D₁ и плоскостью ACD₁.

Пусть A(0,0,0), C(a,a,0), D₁(0,a,a), A₁(0,0,a). Направляющий вектор прямой A₁D₁ равен (0,a,0). Нормальный вектор плоскости ACD₁: AC×AD₁=(a²,−a²,a²). Тогда для угла φ между прямой и плоскостью:

\(\sin\varphi=\dfrac{|(0,a,0)\cdot(a^2,-a^2,a^2)|}{a\cdot a^2\sqrt{3}}=\dfrac1{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\arcsin\dfrac1{\sqrt{3}}\approx35{,}3°\).