2. В квадрате 3 × 3 клетки провели отрезки AB и CD так, как это показано на рисунке. Найдите отношение отрезков EF и CK.

Пусть нижний левый угол квадрата имеет координаты \((0;0)\). Тогда \(A(0;2)\), \(B(3;3)\), \(C(1;3)\), \(D(2;0)\).

Прямая \(AB\) задаётся уравнением \(y=2+\frac{x}{3}\), а прямая \(CD\) — уравнением \(y=6-3x\). Их пересечение — точка \(E(\frac{6}{5};\frac{12}{5})\). По рисунку \(F\) лежит на \(AB\) при \(x=2\), а \(K\) — на \(CD\) при \(y=1\), то есть \(K(\frac{5}{3};1)\).

Для отрезка \(EF\) изменение координаты \(x\) равно \(\frac{4}{5}\), а наклон прямой \(AB\) — \(\frac{1}{3}\). Поэтому \(EF=\frac{4}{5}\sqrt{1+(\frac{1}{3})^2}=\frac{4\sqrt{10}}{15}\).

Для отрезка \(CK\) изменение координаты \(x\) равно \(\frac{2}{3}\), а наклон прямой \(CD\) — \(-3\). Поэтому \(CK=\frac{2}{3}\sqrt{1+3^2}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\).

Следовательно, \(\frac{EF}{CK}=\frac{4\sqrt{10}}{15}:\frac{2\sqrt{10}}{3}=\frac{2}{5}\).

Ответ: \(EF:CK=2:5\).