2. В прямоугольном треугольнике АВС ∠C= 90°, АВ = 15 см, внешний угол при вершине В равен 150°. Найти длину катета АС.

Краткое пояснение:

Внешний угол треугольника смежен с внутренним и их сумма равна 180°. Зная внешний угол при вершине B, мы можем найти внутренний угол B, а затем, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найти длину катета AC.

Решение:

• Внешний угол при вершине B равен 150°, значит, внутренний угол B равен \( 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).
• В прямоугольном треугольнике ABC:
• Гипотенуза AB = 15 см.
• Угол B = 30°.
• Найти катет AC (противолежащий углу B).
• Используем синус угла B: \( \sin(B) = \frac{AC}{AB} \)
• Подставляем известные значения: \( \sin(30^{\circ}) = \frac{AC}{15} \)
• Знаем, что \( \sin(30^{\circ}) = 0.5 \) (или \( \frac{1}{2} \)).
• \( 0.5 = \frac{AC}{15} \)
• Находим AC: \( AC = 0.5 \cdot 15 = 7.5 \) см.

Ответ: 7.5 см