4. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и этот катет.

Решение:

Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет равен \( a \). Меньший катет лежит напротив меньшего острого угла. Если один угол 60°, то второй острый угол равен \( 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \). Меньший катет лежит напротив угла 30°.

По условию:

\[ c - a = 15 \text{ см} \]

Из этого следует, что \( c = a + 15 \) см.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

\[ a = \frac{1}{2} c \]

Подставим это во второе уравнение:

\[ c = \frac{1}{2} c + 15 \]

Решим уравнение:

\[ c - \frac{1}{2} c = 15 \] \[ \frac{1}{2} c = 15 \] \[ c = 15 \cdot 2 = 30 \text{ см} \]

Теперь найдем меньший катет:

\[ a = \frac{1}{2} c = \frac{1}{2} \cdot 30 \text{ см} = 15 \text{ см} \]

Проверка: \( c - a = 30 - 15 = 15 \) см.

Ответ: гипотенуза 30 см, меньший катет 15 см.