2. В равнобедренной трапеции ABCD точка X — середина боковой стороны AB, причём CX ⟂ DX. Высота трапеции равна 12, а разность длин оснований равна 10. Найдите периметр трапеции.

Обозначим меньшее основание BC через \(b\), а большее основание AD через \(L\). В равнобедренной трапеции горизонтальный сдвиг каждой боковой стороны равен \(d=(L-b)/2=5\).

1. Расположим вершины в координатах: \(A=(0,0)\), \(B=(5,12)\), \(C=(5+b,12)\), \(D=(b+10,0)\). Так как X — середина AB, \(X=(2.5,6)\).
2. Перпендикулярность CX и DX означает, что скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{XC}\) и \(\overrightarrow{XD}\) равно нулю: \((b+2.5)(b+7.5)-36=0\).
3. Раскрывая скобки, получаем \(b^2+10b-17.25=0\). Положительный корень — \(b=1.5\), поэтому \(L=b+10=11.5\).
4. Длина каждой боковой стороны равна \(\sqrt{12^2+5^2}=13\). Тогда периметр равен \(1.5+11.5+13+13=39\).

Ответ: 39.