7. Пусть S — площадь выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите неравенство √(S_ABD S_BCD) + √(S_ABC S_ACD) ≤ S. Докажите также, что равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD — параллелограмм.

Обозначим площади треугольников \(ABD, BCD, ABC, ACD\) соответственно через \(p,q,r,s\). Диагонали делят четырёхугольник на пары треугольников, поэтому \(p+q=S\) и \(r+s=S\).

1. По неравенству среднего арифметического и геометрического \(\sqrt{pq}\leq(p+q)/2=S/2\).
2. Аналогично \(\sqrt{rs}\leq(r+s)/2=S/2\).
3. Складывая, получаем \(\sqrt{pq}+\sqrt{rs}\leq S\), что и требовалось.
4. Равенство возможно тогда и только тогда, когда одновременно \(p=q\) и \(r=s\). Равенство площадей треугольников с общей диагональю AC означает, что вершины B и D находятся на равных расстояниях от прямой AC; поскольку они по разные стороны от AC, это равносильно тому, что AC проходит через середину BD. Равенство площадей треугольников с общей диагональю BD аналогично означает, что BD проходит через середину AC.
5. Следовательно, диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам, а такой четырёхугольник является параллелограммом. И наоборот, диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому обе пары соответствующих треугольников равновелики и достигается равенство.