2. В равнобокой трапеции один из углов равен 120°, диагональ трапеции образует с основанием угол 30°. Найдите основания трапеции, если её боковая сторона равна 8 см.

Пусть основания трапеции равны a и b, где a — меньшее основание. Угол при большем основании равен 120°, поэтому острый угол между боковой стороной и основанием равен 60°.

Проекция каждой боковой стороны на основание равна 8 · cos 60° = 4 см. Следовательно, разность оснований равна 4 + 4 = 8 см.

Диагональ проведена от верхней вершины к противоположному концу большего основания. Она образует с основанием угол 30°. Горизонтальная проекция этой диагонали составляет b − 4, а высота трапеции равна 8 · sin 60° = 4√3. Тогда tan 30° = 4√3/(b − 4), откуда b − 4 = 12 и b = 16 см.

Так как b − a = 8, получаем a = 8 см.

Ответ: основания равны 8 см и 16 см.