2. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке O, AB = 20 см, BD = 24 см. Найдите: а) |AO|; б) |AD + BA|; в) |AD − 1/3 BD|.

а) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(BO=\frac{BD}{2}=12\) см. В прямоугольном треугольнике AOB:

\(AO^2=AB^2-BO^2=20^2-12^2=256\), значит, \(|AO|=16\) см.

б) По правилу сложения векторов \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}\). Поэтому \(|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}|=|BD|=24\) см.

в) Возьмём координаты \(A=(-16,0)\), \(B=(0,12)\), \(D=(0,-12)\). Тогда \(\overrightarrow{AD}=(16,-12)\), \(\overrightarrow{BD}=(0,-24)\).

\(\overrightarrow{AD}-\frac13\overrightarrow{BD}=(16,-12)-(0,-8)=(16,-4)\).

Его длина равна \(\sqrt{16^2+(-4)^2}=\sqrt{272}=4\sqrt{17}\) см.

Ответ: а) 16 см; б) 24 см; в) \(4\sqrt{17}\) см.