2. В треугольнике ABC ∠C = 135°, AB = 4√2, BC = 4. Найти AC.

Обозначим \(AC=x\). По теореме косинусов:

\((4\sqrt2)^2=x^2+4^2-2\cdot x\cdot4\cdot\cos135^\circ\).

Так как \(\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}\), получаем \(32=x^2+16+4\sqrt2x\), то есть \(x^2+4\sqrt2x-16=0\).

Решая уравнение, находим корни \(x=-2\sqrt2\pm2\sqrt6\). Длина положительна, поэтому \(AC=2\sqrt6-2\sqrt2\).

Ответ: \(AC=2(\sqrt6-\sqrt2)\).