2. В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 9. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон и параллельна третьей стороне. При этом она делит треугольник на два подобных треугольника. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB, так как DE || AB.

Отношение сторон подобных треугольников равно 1:2, так как DE является средней линией, то есть DE = 1/2 * AB.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть S(CDE) — площадь треугольника CDE, а S(CAB) — площадь треугольника CAB.

\[ \frac{S(\text{CDE})}{S(\text{CAB})} = \left(\frac{\text{DE}}{\text{AB}}\right)^2 \]

Так как DE = 1/2 * AB, то:

\[ \frac{S(\text{CDE})}{S(\text{CAB})} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]

Нам дана площадь треугольника CDE, которая равна 9. Значит:

\[ \frac{9}{S(\text{CAB})} = \frac{1}{4} \]

Отсюда находим площадь треугольника CAB:

\[ S(\text{CAB}) = 9 \times 4 = 36 \]

Ответ: 36