2°. В треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BN и высота СК. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

Рассмотрим каждое утверждение:

• 1) BM = CM. Медиана AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC. Биссектриса BN делит угол B, а медиана AM делит сторону BC. Если AM — медиана, то BM ≠ CM, если это не равнобедренный треугольник. Однако, если AM — это биссектриса (BN), то BM=CM. Утверждение верно, если AM — медиана, а BN — биссектриса. Но тут AM — медиана, а BN — биссектриса. По условию, AM — медиана, а BN — биссектриса. Утверждение 1) верно, если AM — медиана, то BM = CM.
• 2) AN = CN. Это верно, если BN — медиана. Но BN — биссектриса.
• 3) ∠BAM = ∠CAM. Это верно, если AM — биссектриса. Но AM — медиана.
• 4) ∠ABN = ∠CBN. Биссектриса BN делит угол ∠ABC пополам, поэтому ∠ABN = ∠CBN. Утверждение верно.
• 5) ∠AKC = 90°. Высота СК перпендикулярна стороне AB, поэтому ∠AKC = 90°. Утверждение верно.
• 6) ∠BNC = 90°. Это верно, если BN — высота. Но BN — биссектриса.

Ответ: 1, 4, 5.