2. В треугольнике АВС отмечены середины М и N сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 2. Найдите площадь четырехугольника ABMN.

Решение:

Так как M и N — середины сторон BC и AC, то отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Треугольник CNM подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CNM}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \)

Площадь треугольника ABC равна:

\( S_{ABC} = 4 \cdot S_{CNM} = 4 \cdot 2 = 8 \)

Площадь четырехугольника ABMN равна разности площадей треугольника ABC и треугольника CNM:

\( S_{ABMN} = S_{ABC} - S_{CNM} = 8 - 2 = 6 \)

Ответ: 6