9. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 28°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Пусть перпендикуляр, проведённый из O к стороне ромба AD, будет OH. Угол OHA = 90°.

Рассмотрим треугольник AOH. Диагонали ромба делят его углы пополам. Пусть угол при вершине A ромба равен \( \alpha \). Тогда \( \angle OAH = \frac{\alpha}{2} \).

В прямоугольном треугольнике AOH сумма острых углов равна 90°:

\[ \angle OAH + \angle AOH = 90° \]

По условию, \( \angle HOA = 28° \) (так как OH — перпендикуляр к стороне AD, то угол OHA = 90°, но в условии сказано, что перпендикуляр образует угол 28° с диагональю, значит, угол между перпендикуляром и диагональю равен 28°. В треугольнике AOH, угол OAH - половина угла ромба, угол AOH - половина диагонали, угол OHA=90. Если перпендикуляр OH образует с диагональю AO угол 28°, то \( \angle AOH = 28° \).

\( \angle OAH + 28° = 90° \)

\[ \angle OAH = 90° - 28° = 62° \]

Угол \( \angle OAH \) — это половина острого угла ромба \( \alpha \):

\[ \frac{\alpha}{2} = 62° \]

\[ \alpha = 2 \cdot 62° = 124° \]

Это тупой угол. Острый угол ромба будет:

\[ 180° - 124° = 56° \]

Ответ: 56