7. На отрезке AB выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром окружности (A), точкой касания (T) и точкой, из которой проведена касательная (B). В этом треугольнике:

• Гипотенуза — отрезок AB.
• Один катет — радиус окружности AT (равный AC, так как окружность проходит через C).
• Другой катет — касательная BT.

Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC:

\( AB = AC + BC = 75 + 10 = 85 \)

Радиус окружности равен AC:

\( AT = AC = 75 \)

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ATB:

\[ AB^2 = AT^2 + BT^2 \]

Найдем длину касательной BT:

\[ BT^2 = AB^2 - AT^2 \]

\[ BT^2 = 85^2 - 75^2 \]

\[ BT^2 = (85 - 75)(85 + 75) = 10 \cdot 160 = 1600 \]

\[ BT = \sqrt{1600} = 40 \]

Ответ: 40