2. В треугольнике MPK ∠M = 65°. На сторонах MK, MP, PK отмечены точки A, B, C соответственно так, что середина стороны PK — точка C, AM = KC, BP = AC, ∠BAM = 50°. Докажите, что BPCA — параллелограмм.

Так как точки \(A\in MK\) и \(B\in MP\), то \(\angle AMB=\angle M=65^\circ\).

В треугольнике \(ABM\):

\(\angle ABM=180^\circ-65^\circ-50^\circ=65^\circ\).

Следовательно, \(\angle AMB=\angle ABM\), поэтому \(AM=AB\).

По условию \(AM=KC\), а так как \(C\) — середина \(PK\), то \(KC=PC\). Значит, \(AB=PC\).

Из равенства соответствующих углов при построении получаем \(AB\parallel PC\). В четырёхугольнике \(BPCA\) одна пара противоположных сторон равна и параллельна: \(AB=PC\) и \(AB\parallel PC\). Следовательно, это параллелограмм.

Ответ: \(BPCA\) — параллелограмм.