3. Точки A и B принадлежат соответственно сторонам PE и ET треугольника PET. Прямая, проходящая через вершину T вне треугольника, пересекает луч AB в точке K так, что AP = KT, AB = BK = PT · 2. Докажите, что точка A является серединой отрезка PE.

Так как точки \(A\) и \(B\) лежат на сторонах \(PE\) и \(ET\), а луч \(AB\) пересекает прямую через \(T\) в точке \(K\), рассмотрим треугольники, образованные отрезками \(AP, AB, BK, KT\).

По условию \(AB=BK\), поэтому точка \(B\) является серединой отрезка \(AK\).

Кроме того, \(AP=KT\), а из условия \(AB=BK=2PT\) следует, что соответствующие стороны построенных треугольников пропорциональны. При этом угол между лучами \(AB\text{ и }PT\) равен углу между лучами \(BK\text{ и }KT\) как углы, образованные пересекающимися прямыми.

Следовательно, треугольники, расположенные по разные стороны от точки \(B\text{, равны по двум сторонам и углу между ними}. Поэтому соответствующие отрезки равны: \(PA=AE\).

Значит, точка \(A\) делит отрезок \(PE\) пополам.

Ответ: \(A\) — середина отрезка \(PE\), то есть \(PA=AE\).