2 вариант. 4. Докажите, что середины сторон любого выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Пусть E, F, G, H — середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно: AB, BC, CD, DA.

В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины двух сторон, поэтому EF ∥ AC и EF = AC/2. В треугольнике ADC отрезок HG также соединяет середины двух сторон, поэтому HG ∥ AC и HG = AC/2. Следовательно, EF ∥ HG и EF = HG.

Четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон равна и параллельна, является параллелограммом. Значит, EFGH — параллелограмм.