2 вариант. 4. Известны координаты вершин треугольника CPM: C(−5; 7), P(3; −1), M(−1; −9). Определите косинус меньшего угла треугольника.

Question

Вопрос:

Фото задания

2 вариант. 4. Известны координаты вершин треугольника CPM: C(−5; 7), P(3; −1), M(−1; −9). Определите косинус меньшего угла треугольника.

Accepted Answer

Найдём длины сторон:

\(\overrightarrow{CP}=(8;-8)\), поэтому \(|CP|=8\sqrt2\).

\(\overrightarrow{PM}=(-4;-8)\), поэтому \(|PM|=4\sqrt5\).

\(\overrightarrow{CM}=(4;-16)\), поэтому \(|CM|=4\sqrt{17}\).

Наименьшая сторона — \(PM\), поэтому меньший угол расположен напротив неё, при вершине C.

\(\cos C=\dfrac{\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CM}}{|CP|\,|CM|}=\dfrac{8\cdot4+(-8)\cdot(-16)}{(8\sqrt2)(4\sqrt{17})}=\dfrac{160}{32\sqrt{34}}=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\).

Ответ: \(\cos C=\dfrac{5}{\sqrt{34}}\).