2 вариант. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см.

Решение возможно при стандартном для этой конфигурации расположении оснований AD ∥ BC.

В треугольнике ABD угол ABD прямой, а угол ADB равен 30°. Обозначим AB за \(x\). В прямоугольном треугольнике сторона напротив угла 30° вдвое меньше гипотенузы, поэтому \(AD=2x\), а \(BD=\sqrt{3}x\).

Из параллельности AD и BC следует, что \(\angle DBC=\angle ADB=30^\circ\). Так как \(\angle BDC=30^\circ\), треугольник BCD равнобедренный, и \(BC=CD=BD=\sqrt{3}x\).

Периметр равен \(x+2x+\sqrt{3}x+\sqrt{3}x=60\), откуда \(x=60/(3+2\sqrt{3})\). Следовательно, \(AD=2x=120/(3+2\sqrt{3})=40(2\sqrt{3}-3)\) см.

Ответ: \(40(2\sqrt{3}-3)\) см (примерно 18,56 см), если основания трапеции — AD и BC.