2. Вычислите $$ \frac{9}{10} + \frac{4}{9} : \left( 2 - 1\frac{11}{21} \right) - 1\frac{2}{3} $$

Решение:

1. Сначала выполним вычитание в скобках:

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

\[ 2 = \frac{2 \times 21}{21} = \frac{42}{21} \]

\[ 1\frac{11}{21} = \frac{1 \times 21 + 11}{21} = \frac{21 + 11}{21} = \frac{32}{21} \]

Теперь вычтем:

\[ \frac{42}{21} - \frac{32}{21} = \frac{42 - 32}{21} = \frac{10}{21} \]

2. Затем выполним деление:

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

\[ \frac{4}{9} : \frac{10}{21} = \frac{4}{9} \times \frac{21}{10} \]

Сократим дроби:

\[ \frac{4}{9} \times \frac{21}{10} = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} \times \frac{3 \times 7}{2 \times 5} = \frac{2 \times 7}{3 \times 5} = \frac{14}{15} \]

3. Теперь выполним сложение:

\[ \frac{9}{10} + \frac{14}{15} \]

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30.

\[ \frac{9}{10} = \frac{9 \times 3}{10 \times 3} = \frac{27}{30} \]

\[ \frac{14}{15} = \frac{14 \times 2}{15 \times 2} = \frac{28}{30} \]

Сложим дроби:

\[ \frac{27}{30} + \frac{28}{30} = \frac{27 + 28}{30} = \frac{55}{30} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{55}{30} = \frac{11}{6} \]

4. Наконец, выполним вычитание:

Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\[ 1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{3 + 2}{3} = \frac{5}{3} \]

Теперь вычтем:

\[ \frac{11}{6} - \frac{5}{3} \]

Приведём дроби к общему знаменателю 6:

\[ \frac{5}{3} = \frac{5 \times 2}{3 \times 2} = \frac{10}{6} \]

Выполним вычитание:

\[ \frac{11}{6} - \frac{10}{6} = \frac{11 - 10}{6} = \frac{1}{6} \]

Ответ: $$\frac{1}{6}$$