20. (3 балла). Решите неравенство методом интервалов: (9-x²)/(x-4) ≥ 0.

Решение:

Приравняем числитель и знаменатель к нулю, чтобы найти критические точки:

• Числитель: \( 9 - x^2 = 0 \) \( \implies x^2 = 9 \) \( \implies x = \pm 3 \).
• Знаменатель: \( x - 4 = 0 \) \( \implies x = 4 \).

Отметим эти точки на числовой прямой: \( -3, 3, 4 \). Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
e 4 \).

Расставим знаки интервалов для выражения \( \frac{9-x^2}{x-4} \). Для этого подставим тестовые значения из каждого интервала:

• \( x < -3 \) (например, \( x = -5 \)): \( \frac{9 - (-5)^2}{-5 - 4} = \frac{9 - 25}{-9} = \frac{-16}{-9} = \frac{16}{9} > 0 \).
• \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{9 - 0^2}{0 - 4} = \frac{9}{-4} < 0 \).
• \( 3 < x < 4 \) (например, \( x = 3.5 \)): \( \frac{9 - (3.5)^2}{3.5 - 4} = \frac{9 - 12.25}{-0.5} = \frac{-3.25}{-0.5} = 6.5 > 0 \).
• \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \( \frac{9 - 5^2}{5 - 4} = \frac{9 - 25}{1} = -16 < 0 \).

Неравенство \( \ge 0 \) выполняется на интервалах, где знак '+', а также в точках, где числитель равен нулю (точки \( -3 \) и \( 3 \)). Точка \( 4 \) — граница интервала, но не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, решениями являются \( x \) из промежутков \( (-\infty; -3] \) и \( [3; 4) \).

Ответ: \( (-\infty; -3] \cup [3; 4) \).