23. (3 балла). Решите систему уравнений: {log3x - log3y = 1, (y² - xy + 2y = -4

Решение:

Дана система уравнений:

1. \( \log_3 x - \log_3 y = 1 \)


2. \( y^2 - xy + 2y = -4 \)

Шаг 1: Преобразуем первое уравнение.

Используя свойство логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \), получаем:

\( \log_3 \frac{x}{y} = 1 \)

Переведем логарифмическое уравнение в показательное:

\( \frac{x}{y} = 3^1 \)

\( \frac{x}{y} = 3 \)

Выразим \( x \) через \( y \):

\( x = 3y \)

Важное условие: для логарифма \( \log_3 x \) и \( \log_3 y \) должны выполняться условия \( x > 0 \) и \( y > 0 \).

Шаг 2: Подставим выражение для \( x \) во второе уравнение.

Второе уравнение: \( y^2 - xy + 2y = -4 \)

Подставляем \( x = 3y \):

\( y^2 - (3y)y + 2y = -4 \)

\( y^2 - 3y^2 + 2y = -4 \)

\( -2y^2 + 2y = -4 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( -2y^2 + 2y + 4 = 0 \)

Разделим уравнение на -2 для упрощения:

\( y^2 - y - 2 = 0 \)

Шаг 3: Решим квадратное уравнение для \( y \).

Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, произведение — -2. Корнями являются \( y_1 = 2 \) и \( y_2 = -1 \).

Шаг 4: Проверим условия допустимости.

Мы знаем, что \( y > 0 \). Следовательно, корень \( y_2 = -1 \) не подходит.

Остается корень \( y = 2 \).

Шаг 5: Найдем соответствующее значение \( x \).

Используем соотношение \( x = 3y \):

\( x = 3 \times 2 \)

\( x = 6 \)

Проверим условие \( x > 0 \): \( 6 > 0 \), условие выполнено.

Шаг 6: Проверим найденное решение \( (x=6, y=2) \) в исходной системе.

• Первое уравнение: \( \log_3 6 - \log_3 2 = \log_3 \frac{6}{2} = \log_3 3 = 1 \). (Верно)
• Второе уравнение: \( 2^2 - 6 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 4 - 12 + 4 = -4 \). (Верно)

Ответ: \( (6; 2) \).