20. Найдите четырёхзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число должно быть кратно 44, то есть оно должно делиться и на 4, и на 11.

Признак делимости на 4: последние две цифры образуют число, кратное 4.

Признак делимости на 11: знакочередующаяся сумма цифр равна 0 или кратна 11.

Условие: любые две соседние цифры отличаются на 1.

Пробуем составить числа:

1. Начнём с того, что число кратно 4. Возможные окончания: 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52, 56, 60, 64, 72, 76, 80, 84, 92, 96.
2. Условие соседних цифр: \( |a-b|=1 \), \( |b-c|=1 \), \( |c-d|=1 \).
3. Проверим варианты, используя признак делимости на 11 (сумма цифр \( a-b+c-d=0 \) или \(\pm 11 \)).

Рассмотрим число 1216:

• Соседние цифры отличаются на 1: 1 и 2, 2 и 1, 1 и 6 (не выполняется).

Рассмотрим число 2124:

• Соседние цифры: 2 и 1, 1 и 2, 2 и 4 (не выполняется).

Рассмотрим число 1012:

• Соседние цифры: 1 и 0, 0 и 1, 1 и 2. Все отличаются на 1.
• Проверим делимость на 4: 12 делится на 4.
• Проверим делимость на 11: \( 1 - 0 + 1 - 2 = 0 \). Число делится на 11.

Значит, 1012 — подходящее число.

Другой вариант: 6768.

• Соседние цифры: 6 и 7, 7 и 6, 6 и 8 (не выполняется).

Другой вариант: 7672.

• Соседние цифры: 7 и 6, 6 и 7, 7 и 2 (не выполняется).

Другой вариант: 2324.

• Соседние цифры: 2 и 3, 3 и 2, 2 и 4 (не выполняется).

Другой вариант: 4340.

• Соседние цифры: 4 и 3, 3 и 4, 4 и 0 (не выполняется).

Другой вариант: 4548.

• Соседние цифры: 4 и 5, 5 и 4, 4 и 8 (не выполняется).

Другой вариант: 6564.

• Соседние цифры: 6 и 5, 5 и 6, 6 и 4 (не выполняется).

Другой вариант: 7876.

• Соседние цифры: 7 и 8, 8 и 7, 7 и 6. Все отличаются на 1.
• Проверим делимость на 4: 76 делится на 4.
• Проверим делимость на 11: \( 7 - 8 + 7 - 6 = 0 \). Число делится на 11.

Другой вариант: 8784.

• Соседние цифры: 8 и 7, 7 и 8, 8 и 4 (не выполняется).

Ещё один вариант: 1210 (нет, 10 не делится на 4)

Ещё один вариант: 3236.

• Соседние цифры: 3 и 2, 2 и 3, 3 и 6 (не выполняется).

Ещё один вариант: 4344 (нет, 44 делится на 4, но 3 и 4, 4 и 4 - не годится)

Ещё один вариант: 5456.

• Соседние цифры: 5 и 4, 4 и 5, 5 и 6. Все отличаются на 1.
• Проверим делимость на 4: 56 делится на 4.
• Проверим делимость на 11: \( 5 - 4 + 5 - 6 = 0 \). Число делится на 11.

Ответ: 1012