20. Найдите наибольший общий делитель чисел: 1) 18 и 30; 2) 15 и 45; 3) 72 и 108; 4) 660 и 495; 5) 28, 84 и 98.

Решение:

Наибольший общий делитель (НОД) — это самое большое число, на которое делятся оба (или все) данных числа без остатка.

1) 18 и 30

Разложим на простые множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \), \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \). Общие множители: 2 и 3. НОД = \( 2 \cdot 3 = 6 \).

2) 15 и 45

Разложим на простые множители: \( 15 = 3 \cdot 5 \), \( 45 = 3^2 \cdot 5 \). Общие множители: 3 и 5. НОД = \( 3 \cdot 5 = 15 \).

3) 72 и 108

Разложим на простые множители: \( 72 = 2^3 \cdot 3^2 \), \( 108 = 2^2 \cdot 3^3 \). Общие множители: \( 2^2 \) и \( 3^2 \). НОД = \( 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 \).

4) 660 и 495

Разложим на простые множители: \( 660 = 66 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \), \( 495 = 5 \cdot 99 = 5 \cdot 9 \cdot 11 = 3^2 \cdot 5 \cdot 11 \). Общие множители: 3, 5, 11. НОД = \( 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165 \).

5) 28, 84 и 98

Разложим на простые множители: \( 28 = 2^2 \cdot 7 \), \( 84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \), \( 98 = 2 \cdot 7^2 \). Общие множители: 2 и 7. НОД = \( 2 \cdot 7 = 14 \).

Ответ: 1) 6; 2) 15; 3) 36; 4) 165; 5) 14.