20. Постройте график функции $$y=x^2-|6x+7|$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение:

Для построения графика функции \( y = x^2 - |6x+7| \) раскроем модуль.

Случай 1: \( 6x+7 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ -\frac{7}{6} \).

В этом случае \( |6x+7| = 6x+7 \).
Функция принимает вид: \( y = x^2 - (6x+7) = x^2 - 6x - 7 \).

Найдем вершину параболы \( y = x^2 - 6x - 7 \):
\( x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
\( y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16 \).
Вершина: \((3, -16)\).

Найдем точки пересечения с осью x ( \(y=0\) ):
\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)
\( (x-7)(x+1) = 0 \)
\( x_1 = 7 \), \( x_2 = -1 \).
Обе точки \(x=7\) и \(x=-1\) попадают в интервал \( x ≥ -\frac{7}{6} \) (так как \(-\frac{7}{6} \approx -1.17\)).

Случай 2: \( 6x+7 < 0 \), то есть \( x < -\frac{7}{6} \).

В этом случае \( |6x+7| = -(6x+7) = -6x-7 \).
Функция принимает вид: \( y = x^2 - (-6x-7) = x^2 + 6x + 7 \).

Найдем вершину параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \):
\( x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3 \).
\( y_v = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2 \).
Вершина: \((-3, -2)\).

Найдем точки пересечения с осью x ( \(y=0\) ):
\( x^2 + 6x + 7 = 0 \)
\( D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8 \)
\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -3 \pm \sqrt{2} \).

\( x_3 = -3 + \sqrt{2} \approx -3 + 1.41 = -1.59 \)
\( x_4 = -3 - \sqrt{2} \approx -3 - 1.41 = -4.41 \).

Точка \( x_3 = -3 + \sqrt{2} \) не попадает в интервал \( x < -\frac{7}{6} \) (так как \(-1.59 < -1.17\) — неверно, \(-1.59 > -1.17\)).
Точка \( x_4 = -3 - \sqrt{2} \) попадает в интервал \( x < -\frac{7}{6} \).

График функции:
1. Парабола \( y = x^2 - 6x - 7 \) для \( x ≥ -\frac{7}{6} \).
2. Парабола \( y = x^2 + 6x + 7 \) для \( x < -\frac{7}{6} \).

Построение графика:

Сначала построим две параболы. Затем «обрежем» их по условию \( x ≥ -\frac{7}{6} \) и \( x < -\frac{7}{6} \) соответственно.

Нахождение значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \(m\), при которых она пересекает график функции ровно в трех точках.

Рассмотрим точки, где меняется вид функции или где находятся вершины парабол:

• Точка \( x = -\frac{7}{6} \):
  \( y = (-7/6)^2 - 6(-7/6) - 7 = 49/36 + 7 - 7 = 49/36 \).
  \( y = (-7/6)^2 + 6(-7/6) + 7 = 49/36 - 7 + 7 = 49/36 \).
  Таким образом, точка \( \left(-\frac{7}{6}, \frac{49}{36}\right) \) является точкой «склейки» графиков. \(\frac{49}{36} \approx 1.36\).
• Вершина первой параболы \( (3, -16) \).
• Вершина второй параболы \( (-3, -2) \).

Прямая \( y=m \) будет иметь три точки пересечения, если она проходит через:

1. Вершину параболы \( y = x^2 + 6x + 7 \) на интервале \( x < -7/6 \), то есть при \( m = -2 \).
2. Точку «склейки» графиков \( \left(-\frac{7}{6}, \frac{49}{36}\right) \), то есть при \( m = \frac{49}{36} \).

Итог:

При \( m = -2 \), прямая \( y = -2 \) пересечет график в одной точке (вершина \( (-3, -2) \) ) и еще в двух точках на другой ветви параболы \( y = x^2 - 6x - 7 \), где \( y = -2 \) ( \( x^2 - 6x - 7 = -2 → x^2 - 6x - 5 = 0 → x = \frac{6 \pm \sqrt{36+20}}{2} = 3 \pm \sqrt{14} \) ). То есть всего 3 точки.

При \( m = \frac{49}{36} \), прямая \( y = \frac{49}{36} \) пройдет через точку склейки \( x = -7/6 \) и еще через одну точку на параболе \( y = x^2 - 6x - 7 \) (где \( x^2 - 6x - 7 = 49/36 → x^2 - 6x - (7+49/36) = 0 \)). Это тоже 3 точки.

Ответ: -2; $$\frac{49}{36}$$