Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 20. Решите неравенство \( \frac{x^2-8x+15}{x-3} \leq 0 \).Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Найдем корни числителя:
  2. \( x^2 - 8x + 15 = 0 \)
  3. По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 8 \), \( x_1 x x_2 = 15 \).
  4. Корни: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \).
  5. Таким образом, числитель можно разложить как \( (x-3)(x-5) \).
  6. Неравенство примет вид: \( \frac{(x-3)(x-5)}{x-3} \leq 0 \).
  7. При \( x ≠ 3 \) можно сократить \( (x-3) \):
  8. \( x-5 \leq 0 \)
  9. \( x \leq 5 \)
  10. Учитывая условие \( x ≠ 3 \), получаем, что решение неравенства — это интервал \( (-∞, 3) ∪ (3, 5] \).
  11. Графический метод (Метод интервалов):
  12. Отметим корни числителя (3 и 5) и корень знаменателя (3) на числовой оси.
  13. ∐ Числитель: корни 3 и 5. Парабола ветвями вверх.
  14. ∐ Знаменатель: корень 3.
  15. Расставим знаки на интервалах:
  16. Интервал \( (-∞, 3) \): Возьмем \( x=0 \). \( \frac{0^2-8(0)+15}{0-3} = \frac{15}{-3} = -5 \) (отрицательно).
  17. Интервал \( (3, 5) \): Возьмем \( x=4 \). \( \frac{4^2-8(4)+15}{4-3} = \frac{16-32+15}{1} = -1 \) (отрицательно).
  18. Интервал \( (5, +∞) \): Возьмем \( x=6 \). \( \frac{6^2-8(6)+15}{6-3} = \frac{36-48+15}{3} = \frac{3}{3} = 1 \) (положительно).
  19. Нам нужно \( \leq 0 \), то есть отрицательные и нулевые значения.
  20. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x ≠ 3 \).
  21. Значения, при которых дробь равна нулю: \( x^2 - 8x + 15 = 0 \), то есть \( x=3 \) и \( x=5 \).
  22. Учитывая \( x ≠ 3 \), получаем \( x=5 \) как одну из границ.
  23. Объединяя полученные интервалы, где значение отрицательное, и точку, где оно равно нулю, но исключая точку, где знаменатель равен нулю: \( x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, 5] \).

Ответ: \( (-∞, 3) ∪ (3, 5] \)