Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 22. Постройте график функции \( y = \frac{(x^2+2,25)(x-1)}{1-x} \) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Упростим выражение для функции:
  2. \( y = \frac{(x^2+2,25)(x-1)}{1-x} \)
  3. Заметим, что \( 1-x = -(x-1) \).
  4. \( y = \frac{(x^2+2,25)(x-1)}{-(x-1)} \)
  5. При \( x ≠ 1 \), мы можем сократить \( (x-1) \):
  6. \( y = -(x^2+2,25) \)
  7. \( y = -x^2 - 2,25 \)
  8. Это уравнение параболы с вершиной в точке (0, -2.25), ветви направлены вниз.
  9. Однако, исходная функция имеет ограничение \( x ≠ 1 \).
  10. Поэтому график функции — это парабола \( y = -x^2 - 2,25 \) с выколотой точкой при \( x=1 \).
  11. Найдем значение y для выколотой точки:
  12. \( y = -(1)^2 - 2,25 = -1 - 2,25 = -3,25 \).
  13. Выколотая точка имеет координаты (1, -3.25).
  14. Построение графика:
  15. График — парабола с вершиной в точке (0, -2.25), ветви направлены вниз. Выколотая точка (1, -3.25).
  16. Поиск значений k:
  17. Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат (0, 0).
  18. Нам нужно найти такие значения k, при которых прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком \( y = -x^2 - 2,25 \) (с учетом выколотой точки).
  19. Случай 1: Прямая проходит через выколотую точку.
  20. Подставим координаты выколотой точки (1, -3.25) в уравнение прямой \( y = kx \):
  21. \( -3,25 = k x 1 \)
  22. \( k = -3,25 \).
  23. В этом случае прямая проходит через выколотую точку, и других пересечений с параболой нет. Это одно пересечение.
  24. Случай 2: Прямая касается параболы.
  25. Приравняем уравнения:
  26. \( kx = -x^2 - 2,25 \)
  27. \( x^2 + kx + 2,25 = 0 \)
  28. Для того чтобы прямая и парабола имели ровно одну общую точку (касание), дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.
  29. \( D = b^2 - 4ac = k^2 - 4(1)(2,25) = 0 \)
  30. \( k^2 - 9 = 0 \)
  31. \( k^2 = 9 \)
  32. \( k = ± 3 \)
  33. Найдем точки касания:
  34. Если \( k = 3 \): \( x^2 + 3x + 2,25 = 0 \). \( x = \frac{-3}{2} = -1,5 \). \( y = 3 x (-1,5) = -4,5 \). Точка касания (-1.5, -4.5). Эта точка не является выколотой.
  35. Если \( k = -3 \): \( x^2 - 3x + 2,25 = 0 \). \( x = \frac{3}{2} = 1,5 \). \( y = -3 x (1,5) = -4,5 \). Точка касания (1.5, -4.5). Эта точка не является выколотой.
  36. Итак, при \( k = 3 \) и \( k = -3 \) прямая имеет одну общую точку с параболой.
  37. Случай 3: Прямая проходит через начало координат и выколотую точку.
  38. Мы уже рассмотрели этот случай: \( k = -3,25 \). Прямая \( y = -3,25x \) проходит через выколотую точку (1, -3.25).
  39. Также необходимо учесть, что прямая проходит через начало координат (0,0).
  40. Таким образом, прямая \( y = kx \) будет иметь ровно одну общую точку с графиком, если она:
  41. а) Касается параболы (k = 3 или k = -3).
  42. б) Проходит через выколотую точку (k = -3,25).

Ответ: k = 3, k = -3, k = -3,25