Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 25. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС равен 8, катет ВС равен 15. Найдите радиус окружности, которая проходит через…Фото задания

Ответ:

Дано:

  • Прямоугольный треугольник АВС (∐C = 90°).
  • Катет АС = 8.
  • Катет ВС = 15.
  • Окружность проходит через концы гипотенузы АВ.
  • Окружность касается прямой ВС.

Найти: Радиус окружности (R).

Решение:

  1. Найдем длину гипотенузы АВ по теореме Пифагора:
  2. \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
  3. \( AB^2 = 8^2 + 15^2 \)
  4. \( AB^2 = 64 + 225 \)
  5. \( AB^2 = 289 \)
  6. \( AB = √ 289 = 17 \).
  7. Пусть центр окружности — точка О, а радиус — R.
  8. Окружность проходит через точки А и В. Это означает, что центр окружности О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.
  9. Окружность касается прямой ВС. Расстояние от центра окружности О до прямой ВС равно радиусу R.
  10. Пусть центр окружности О имеет координаты (x, y).
  11. Удобно расположить треугольник в системе координат: С — начало координат (0, 0), А — (0, 8), В — (15, 0).
  12. Тогда гипотенуза АВ соединяет точки (0, 8) и (15, 0).
  13. Серединный перпендикуляр к АВ:
  14. Середина АВ: \( M = (\frac{0+15}{2}, \frac{8+0}{2}) = (7.5, 4) \).
  15. Уравнение прямой АВ: \( y - 0 = \frac{8-0}{0-15}(x - 15) \) => \( y = -\frac{8}{15}(x - 15) \) => \( 15y = -8x + 120 \) => \( 8x + 15y - 120 = 0 \).
  16. Уравнение серединного перпендикуляра (перпендикулярно АВ, проходит через М):
  17. Наклон прямой АВ: \( m_{AB} = -\frac{8}{15} \).
  18. Наклон серединного перпендикуляра: \( m_† = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{15}{8} \).
  19. Уравнение серединного перпендикуляра: \( y - 4 = \frac{15}{8}(x - 7.5) \) => \( 8(y-4) = 15(x-7.5) \) => \( 8y - 32 = 15x - 112.5 \) => \( 15x - 8y - 80.5 = 0 \).
  20. Центр окружности О(x, y) лежит на этой прямой.
  21. Расстояние от центра О(x, y) до прямой ВС (ось X, уравнение \( y=0 \)) равно радиусу R.
  22. \( R = |y| \). Так как окружность касается прямой ВС, и проходит через точки А и В, то центр О должен быть выше оси X, следовательно \( y > 0 \) и \( R = y \).
  23. Расстояние от центра О(x, y) до точки А(0, 8) равно R:
  24. \( (x-0)^2 + (y-8)^2 = R^2 \)
  25. \( x^2 + (y-8)^2 = y^2 \)
  26. \( x^2 + y^2 - 16y + 64 = y^2 \)
  27. \( x^2 - 16y + 64 = 0 \) (1)
  28. Подставим \( y = R \) и \( x \) из уравнения серединного перпендикуляра.
  29. Из \( 15x - 8y - 80.5 = 0 \) => \( 15x = 8y + 80.5 \) => \( x = \frac{8y + 80.5}{15} \).
  30. Подставим в (1):
  31. \( (\frac{8y + 80.5}{15})^2 - 16y + 64 = 0 \)
  32. \( \frac{(8y + 80.5)^2}{225} - 16y + 64 = 0 \)
  33. \( (8y + 80.5)^2 - 225(16y) + 225(64) = 0 \)
  34. \( 64y^2 + 2 x 8y x 80.5 + 80.5^2 - 3600y + 14400 = 0 \)
  35. \( 64y^2 + 1288y + 6480.25 - 3600y + 14400 = 0 \)
  36. \( 64y^2 - 2312y + 20880.25 = 0 \)
  37. Разделим на 64:
  38. \( y^2 - 36.125y + 326.25390625 = 0 \)
  39. Решим квадратное уравнение для y (что равно R):
  40. \( y = \frac{-b ± √{b^2 - 4ac}}{2a} \)
  41. \( y = \frac{36.125 ± √{36.125^2 - 4(1)(326.25390625)}}{2(1)} \)
  42. \( y = \frac{36.125 ± √{1305 - 1305.015625}}}{2} \)
  43. \( y ≈ \frac{36.125 ± 0}{2} \)
  44. \( y ≈ 18.0625 \)
  45. Это значение R.
  46. Проверка:
  47. Пусть центр окружности О имеет координаты (x, R).
  48. Расстояние от О до В(15, 0) равно R:
  49. \( (x-15)^2 + (R-0)^2 = R^2 \)
  50. \( (x-15)^2 + R^2 = R^2 \)
  51. \( (x-15)^2 = 0 \) => \( x = 15 \).
  52. Если x = 15, то центр О имеет координаты (15, R).
  53. Расстояние от О(15, R) до А(0, 8) равно R:
  54. \( (15-0)^2 + (R-8)^2 = R^2 \)
  55. \( 15^2 + R^2 - 16R + 64 = R^2 \)
  56. \( 225 - 16R + 64 = 0 \)
  57. \( 289 - 16R = 0 \)
  58. \( 16R = 289 \)
  59. \( R = \frac{289}{16} = 18.0625 \).
  60. Это совпадает с предыдущим результатом.

Ответ: 18,0625