20 Решите неравенство (х²-2x-15) (x²-7x+10) ≤ 0.

Привет! Давай решим это неравенство шаг за шагом.

Шаг 1: Разложим каждый квадратный трехчлен на множители.

Первый множитель: x² - 2x - 15

Найдем корни уравнения x² - 2x - 15 = 0.

Дискриминант D = (-2)² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64.

x₁ = (2 - √64) / 2 = (2 - 8) / 2 = -6 / 2 = -3.

x₂ = (2 + √64) / 2 = (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5.

Значит, x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3).

Второй множитель: x² - 7x + 10

Найдем корни уравнения x² - 7x + 10 = 0.

Дискриминант D = (-7)² - 4 * 1 * 10 = 49 - 40 = 9.

x₃ = (7 - √9) / 2 = (7 - 3) / 2 = 4 / 2 = 2.

x₄ = (7 + √9) / 2 = (7 + 3) / 2 = 10 / 2 = 5.

Значит, x² - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5).

Шаг 2: Запишем неравенство в разложенном виде.

\[ (x - 5)(x + 3)(x - 2)(x - 5) ≤ 0 \]

Упростим, объединив одинаковые множители:

\[ (x + 3)(x - 2)(x - 5)^2 ≤ 0 \]

Шаг 3: Применим метод интервалов.

Найдем корни каждого множителя:

• x + 3 = 0 => x = -3
• x - 2 = 0 => x = 2
• (x - 5)² = 0 => x = 5 (это корень кратности 2)

Отметим эти корни на числовой прямой: -3, 2, 5.

Рассмотрим знаки произведения на интервалах:

• Интервал (-∞; -3): Возьмем x = -4. (-4 + 3)(-4 - 2)(-4 - 5)² = (-1)(-6)(+81) = + (положительное число).
• Интервал (-3; 2): Возьмем x = 0. (0 + 3)(0 - 2)(0 - 5)² = (+3)(-2)(+25) = - (отрицательное число).
• Интервал (2; 5): Возьмем x = 3. (3 + 3)(3 - 2)(3 - 5)² = (+6)(+1)(+4) = + (положительное число).
• Интервал (5; +∞): Возьмем x = 6. (6 + 3)(6 - 2)(6 - 5)² = (+9)(+4)(+1) = + (положительное число).

Нам нужно найти значения, где произведение ≤ 0.

Это интервал (-3; 2). Точка x = 5 является корнем кратности 2, поэтому знак на интервалах, где он находится, не меняется. При x = 5 выражение равно 0, значит, эта точка тоже входит в решение.

Ответ: [-3; 2] ∪ {5}