22 Постройте график функции у = (x²+7x+12)(x²-x-2) / (x² + 5x + 4) и определите, при каких значениях х функция не определена.

Привет! Давай разберемся с этой функцией.

Шаг 1: Определим, при каких значениях x функция не определена.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю.

Знаменатель: x² + 5x + 4 = 0.

Найдем корни уравнения x² + 5x + 4 = 0.

Дискриминант D = 5² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

x₁ = (-5 - √9) / 2 = (-5 - 3) / 2 = -8 / 2 = -4.

x₂ = (-5 + √9) / 2 = (-5 + 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

Следовательно, функция не определена при x = -4 и x = -1.

Шаг 2: Разложим числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: x² + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1).

Числитель:

Первый множитель: x² + 7x + 12 = 0.

D = 7² - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1.

x₃ = (-7 - 1) / 2 = -8 / 2 = -4.

x₄ = (-7 + 1) / 2 = -6 / 2 = -3.

Значит, x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).

Второй множитель: x² - x - 2 = 0.

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

x₅ = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.

x₆ = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.

Значит, x² - x - 2 = (x + 1)(x - 2).

Шаг 3: Сократим дробь.

Запишем функцию с разложенными множителями:

\[ y = \frac{(x + 3)(x + 4)(x + 1)(x - 2)}{(x + 4)(x + 1)} \]

Сокращаем общие множители (x + 4) и (x + 1). Важно помнить, что эти сокращения возможны только при условии, что эти множители не равны нулю, то есть x ≠ -4 и x ≠ -1.

После сокращения получаем:

y = (x + 3)(x - 2)

Раскроем скобки:

y = x² - 2x + 3x - 6

y = x² + x - 6

Шаг 4: Построим график функции.

Мы строим график параболы y = x² + x - 6. Однако, нам нужно учесть, что при x = -4 и x = -1 функция не определена. Это значит, что в точках (-4; y) и (-1; y) на графике будут «выколотые» точки (пустые кружочки).

Найдем значения y в этих точках:

• При x = -4: y = (-4)² + (-4) - 6 = 16 - 4 - 6 = 6. Точка (-4; 6) выколота.
• При x = -1: y = (-1)² + (-1) - 6 = 1 - 1 - 6 = -6. Точка (-1; -6) выколота.

Чтобы построить параболу y = x² + x - 6, найдем ее вершину:

x_{вершины} = -b / (2a) = -1 / (2 * 1) = -0.5.

y_{вершины} = (-0.5)² + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25.

Вершина параболы находится в точке (-0.5; -6.25).

Также найдем точки пересечения с осями:

• С осью Oy (x=0): y = 0² + 0 - 6 = -6. Точка (0; -6).
• С осью Ox (y=0): x² + x - 6 = 0. Корни мы уже находили: x = -3 и x = 2. Точки (-3; 0) и (2; 0).

График

Итог:

Функция не определена при x = -4 и x = -1.

График представляет собой параболу y = x² + x - 6 с двумя «выколотыми» точками: (-4; 6) и (-1; -6).