20. Решите неравенство: (x - 1)^2 - 2 ≥ 0

Решение:

Рассмотрим неравенство \( (x - 1)^2 - 2 \geq 0 \). Это квадратичное неравенство.

1. Приравняем выражение к нулю, чтобы найти корни: \( (x - 1)^2 - 2 = 0 \)
2. Перенесем 2 в правую часть: \( (x - 1)^2 = 2 \)
3. Извлечем квадратный корень из обеих частей: \( x - 1 = \pm \sqrt{2} \)
4. Найдем значения \( x \): \( x = 1 \pm \sqrt{2} \)
5. Получили два корня: \( x_1 = 1 - \sqrt{2} \) и \( x_2 = 1 + \sqrt{2} \).
6. Так как неравенство \( \geq 0 \), ветви параболы \( y = (x-1)^2 - 2 \) направлены вверх, то решение будет там, где парабола находится выше или на оси x.
7. Таким образом, \( x \leq 1 - \sqrt{2} \) или \( x \geq 1 + \sqrt{2} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 1 - \sqrt{2}] \cup [1 + \sqrt{2}; \infty) \).