20 Решите систему уравнений $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{cases}$$

Решение:

Из второго уравнения системы выразим \( y \) через \( x \):

\( y = -\frac{12}{x} \)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(-\frac{12}{x}\right)^2 = 40 \]

\[ x^2 + \frac{144}{x^2} = 40 \]

Умножим обе части на \( x^2 \) (при условии \( x
e 0 \)):

\[ x^4 + 144 = 40x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^4 - 40x^2 + 144 = 0 \]

Сделаем замену переменной: \( t = x^2 \), где \( t \ge 0 \).

\[ t^2 - 40t + 144 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 1600 - 576 = 1024 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \).

Найдём значения \( t \):

\[ t_1 = \frac{40 + 32}{2} = \frac{72}{2} = 36 \]

\[ t_2 = \frac{40 - 32}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь вернёмся к замене \( x^2 = t \):

1) \( x^2 = 36 \) \( \implies \) \( x = \pm 6 \).

2) \( x^2 = 4 \) \( \implies \) \( x = \pm 2 \).

Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \) из уравнения \( y = -\frac{12}{x} \):

Если \( x = 6 \), то \( y = -\frac{12}{6} = -2 \).

Если \( x = -6 \), то \( y = -\frac{12}{-6} = 2 \).

Если \( x = 2 \), то \( y = -\frac{12}{2} = -6 \).

Если \( x = -2 \), то \( y = -\frac{12}{-2} = 6 \).

Таким образом, система имеет четыре решения.

Ответ: (6; -2), (-6; 2), (2; -6), (-2; 6).