24 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и ВК. Докажите, что углы АНК и АВК равны.

Доказательство:

Рассмотрим четырёхугольник ABHK. В нём проведены высоты AH и BK, значит, \( \angle AHB = 90^{\circ} \) и \( \angle BKA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим точки A, B, H, K. Эти точки лежат на одной окружности, так как углы \( \angle AHB \) и \( \angle BKA \) опираются на диаметр AB и являются прямыми.

Следовательно, четырёхугольник ABHK является вписанным в окружность.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

Углы \( \angle AHK \) и \( \angle ABK \) опираются на хорду AK.

Углы \( \angle HAK \) и \( \angle HBK \) опираются на хорду HK.

Углы \( \angle AKB \) и \( \angle AHB \) являются прямыми и опираются на диаметр AB.

Углы \( \angle KAH \) и \( \angle KBH \) равны, так как они оба равны \( 90^{\circ} - \angle KAH \) (или \( 90^{\circ} - \angle ABH \)).

Рассмотрим угол \( \angle ANK \) и \( \angle ABK \). Они опираются на дугу AK.

Рассмотрим точки A, B, H, K. Угол \( \angle AHB = 90^{\circ} \) и \( \angle AKB = 90^{\circ} \). Эти углы опираются на отрезок AB.

Четырёхугольник ABHK вписан в окружность с диаметром AB.

Углы \( \angle HAK \) и \( \angle HBK \) равны \( 90^{\circ} - \angle ABH \).

Рассмотрим углы \( \angle ANK \) и \( \angle ABK \). Они являются вписанными в окружность, описанную около четырёхугольника ABHK, и опираются на одну и ту же дугу AK.

Следовательно, \( \angle ANK = \angle ABK \).

Но \( \angle ANK \) и \( \angle AHK \) — это один и тот же угол, так как точки N и H лежат на одной прямой.

Таким образом, \( \angle AHK = \angle ABK \).

Что и требовалось доказать.