22 Постройте график функции $$y = x^2 + 4|x| - 5$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Question

Вопрос:

22 Постройте график функции $$y = x^2 + 4|x| - 5$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Функция $ y = x^2 + 4|x| - 5 $ является чётной, так как $ (-x)^2 + 4|-x| - 5 = x^2 + 4|x| - 5 $. График функции симметричен относительно оси ординат.

Рассмотрим два случая:

Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Функция принимает вид $ y = x^2 + 4x - 5 $.
Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Функция принимает вид $ y = x^2 - 4x - 5 $.

Построим график для $ x \ge 0 $, то есть $ y = x^2 + 4x - 5 $.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 $. Так как мы рассматриваем $ x \ge 0 $, вершина не попадает в эту область. Для $ x \ge 0 $ функция возрастает.

Найдем точки пересечения с осью абсцисс $ y = 0 $:

\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

$ (x+5)(x-1) = 0 $

$ x = -5 $ или $ x = 1 $.

Учитывая, что $ x \ge 0 $, точка пересечения с осью абсцисс — $ x = 1 $.

Точка пересечения с осью ординат $ x=0 $: $ y = 0^2 + 4(0) - 5 = -5 $. Таким образом, точка (0, -5).

Теперь построим график для $ x < 0 $, то есть $ y = x^2 - 4x - 5 $. Используем симметрию относительно оси ординат.

График функции представляет собой две части параболы, соединенные в точке (0, -5).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид $ y = k $.

Чтобы найти число общих точек, нужно определить, сколько раз прямая $ y = k $ может пересекать построенный график.

Минимальное значение функции достигается в точке $ x=0 $, где $ y = -5 $.

Если $ k < -5 $, прямая $ y=k $ не пересекает график. (0 точек)

Если $ k = -5 $, прямая $ y = -5 $ пересекает график в одной точке $ x=0 $. (1 точка)

Если $ -5 < k < 0 $, прямая $ y=k $ пересекает график в двух точках (симметрично относительно оси Оу). (2 точки)

Если $ k = 0 $, прямая $ y = 0 $ пересекает график в двух точках $ x = ± 1 $. (2 точки)

Если $ k > 0 $, прямая $ y=k $ пересекает график в четырех точках.

Наибольшее число общих точек достигается при $ k > 0 $.

Ответ: 4.

22 Постройте график функции $$y = x^2 + 4|x| - 5$$. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Ответ:

Решение:

Похожие