21 Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после себя возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 8 часов, а отправления теплоход возвращается через 26 часов после отплытия из него.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч), а \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

По условию, \( u = 2 \) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \( v + u = v + 2 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v - u = v - 2 \) км/ч.

Расстояние в одну сторону: \( S = 160 \) км.

Время в пути по течению: \( t_1 = \frac{S}{v + u} = \frac{160}{v + 2} \) часов.

Время в пути против течения: \( t_2 = \frac{S}{v - u} = \frac{160}{v - 2} \) часов.

Общее время в пути с учетом стоянки: 26 часов.

Общее время = время по течению + время стоянки + время против течения.

\[ \frac{160}{v + 2} + 8 + \frac{160}{v - 2} = 26 \]

Вычтем 8 из обеих частей:

\[ \frac{160}{v + 2} + \frac{160}{v - 2} = 18 \]

Разделим обе части на 2:

\[ \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} = 9 \]

\[ \frac{80v - 160 + 80v + 160}{v^2 - 4} = 9 \]

\[ \frac{160v}{v^2 - 4} = 9 \]

Умножим обе части на \( v^2 - 4 \) (при условии \( v^2
e 4 \), то есть \( v
e 2 \) и \( v
e -2 \)):

\[ 160v = 9(v^2 - 4) \]

\[ 160v = 9v^2 - 36 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ 9v^2 - 160v - 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( v \). Найдём дискриминант:

\[ D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \).

Найдём значения \( v \):

\[ v_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \]

\[ v_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \]

Скорость теплохода не может быть отрицательной, поэтому \( v = 18 \) км/ч.

Проверим условие \( v > u \): \( 18 > 2 \), что верно.

Ответ: 18 км/ч.