20. Решите систему уравнений $$ \begin{cases} (x-5)(y-7)=0 \\ \frac{y-3}{x+y-8} = 2 \end{cases} $$

Решение:

Из первого уравнения \( (x-5)(y-7)=0 \) следует, что либо \( x-5=0 \) (т.е. \( x=5 \)), либо \( y-7=0 \) (т.е. \( y=7 \)). Рассмотрим два случая:

Случай 1: \( x=5 \)

Подставим \( x=5 \) во второе уравнение:

\[ \frac{y-3}{5+y-8} = 2 \]

\[ \frac{y-3}{y-3} = 2 \]

Это уравнение не имеет решений, так как \( y-3 \) в числителе и знаменателе должно быть равно 0, что невозможно одновременно с \( \frac{y-3}{y-3} = 1 \). Следовательно, \( y \neq 3 \). Если \( y \neq 3 \), то \( \frac{y-3}{y-3} = 1 \), а \( 1 \neq 2 \). Таким образом, этот случай не дает решений.

Случай 2: \( y=7 \)

Подставим \( y=7 \) во второе уравнение:

\[ \frac{7-3}{x+7-8} = 2 \]

\[ \frac{4}{x-1} = 2 \]

Умножим обе части на \( x-1 \) (при условии, что \( x-1 \neq 0 \), то есть \( x \neq 1 \)):

\[ 4 = 2(x-1) \]

\[ 4 = 2x - 2 \]

\[ 6 = 2x \]

\[ x = 3 \]

Проверим, что \( x=3 \) и \( y=7 \) удовлетворяют условию \( x \neq 1 \). Да, \( 3 \neq 1 \).

Проверим, что \( x=3 \) и \( y=7 \) удовлетворяют первому уравнению: \( (3-5)(7-7) = (-2)(0) = 0 \). Верно.

Проверим, что \( x=3 \) и \( y=7 \) удовлетворяют второму уравнению: \( \frac{7-3}{3+7-8} = \frac{4}{10-8} = \frac{4}{2} = 2 \). Верно.

Таким образом, единственное решение системы — \( x=3 \), \( y=7 \).

Ответ: (3; 7).