20. Вычислить интеграл: ∫₀¹ x²dx

Решение:

Используем формулу интеграла степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) и формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

Первообразная для \( x^2 \) равна \( \frac{x^3}{3} \).

Вычисляем определенный интеграл:

\[ \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \]\[ = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} \]\[ = \frac{1}{3} - 0 \]\[ = \frac{1}{3} \]

Ответ: 3. 1/3