205. На рисунке 123 AD ∥ p и PQ ∥ BC. Докажите, что прямая p пересекает прямые AB, AE, AC, BC и PQ.

По рисунку прямая p проходит через точку D основания BC и параллельна стороне AB: \(AD \parallel p\). Так как точки A и D принадлежат прямой AD, а p проходит через D, то p пересекает прямую AD в точке D.

Рассмотрим треугольник ABC. Прямая p, проходящая через внутреннюю точку D стороны BC и параллельная стороне AB, пересекает противоположную сторону AC в некоторой точке. Следовательно, p пересекает AC.

Прямая AE проходит через вершину A и внутреннюю точку E стороны BC. Поэтому p пересекает AE.

Поскольку D принадлежит BC, прямая p пересекает BC в точке D.

Так как \(PQ \parallel BC\), а p пересекает BC, то p не может быть параллельна PQ; следовательно, p пересекает PQ.

Кроме того, по условию \(AD \parallel p\), а на рисунке AD пересекает AB в точке A, поэтому прямая p также пересекает AB.

Ответ: p пересекает AB, AE, AC, BC и PQ.