22. Постройте график функции y = x²+4x-5. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

График функции \( y = x^2 + 4x - 5 \) — это парабола. Найдём вершину параболы.

Абсцисса вершины: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2 \).

Ордината вершины: \( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \).

Вершина параболы находится в точке \( (-2, -9) \).

Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( a = 1 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх.

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = k \), где \( k \) — некоторое число.

Чтобы найти число общих точек параболы \( y = x^2 + 4x - 5 \) и прямой \( y = k \), нужно решить уравнение:

\( x^2 + 4x - 5 = k \)

\( x^2 + 4x - (5+k) = 0 \)

Это квадратное уравнение. Число его корней зависит от дискриминанта.

• Если \( k < -9 \) (прямая ниже вершины), то уравнение не имеет действительных корней, т.е. 0 общих точек.
• Если \( k = -9 \) (прямая проходит через вершину), то уравнение имеет 1 действительный корень, т.е. 1 общая точка (вершина).
• Если \( k > -9 \) (прямая выше вершины), то уравнение имеет 2 действительных корня, т.е. 2 общие точки.

Следовательно, наибольшее число общих точек — 2.

Ответ: 2