21. Найдите скалярное произведение векторов АВ и АС, если A(1;-1;3), B(0;1;-2), C(4;-4;0).

Решение:

Для нахождения скалярного произведения векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) сначала найдем координаты этих векторов.

1. Найдем координаты вектора \( \vec{AB} \):
   \[ \vec{AB} = B - A = (0 - 1; 1 - (-1); -2 - 3) = (-1; 2; -5) \]
2. Найдем координаты вектора \( \vec{AC} \):
   \[ \vec{AC} = C - A = (4 - 1; -4 - (-1); 0 - 3) = (3; -3; -3) \]
3. Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} = (u_1; u_2; u_3) \) и \( \vec{v} = (v_1; v_2; v_3) \) находится по формуле:
   \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 \]
4. Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-3) + (-5) \cdot (-3) \]
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -3 - 6 + 15 \]
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = -9 + 15 \]
   \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 6 \]

Ответ: 6