7. В треугольнике АВС угол С=90°. Высота, опущенная из вершины С на гипотенузу АВ, равна СМ=5 см. Из точки С восстановлен перпендикуляр СК к плоскости треугольника, СК=12 см. Вычислите длину отрезка КМ.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CM, опущенная на гипотенузу, равна 5 см.

CK — перпендикуляр к плоскости треугольника, проведенный из вершины C. Длина перпендикуляра CK = 12 см.

Треугольник CKM является прямоугольным, так как CK перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости треугольника ABC, в том числе и прямой KM (так как M лежит на AB, а KM — это отрезок, соединяющий точки C и M, где C — вершина, а M — основание высоты).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника CKM:

\[ KM^2 = CK^2 + CM^2 \]

Подставим известные значения:

\[ KM^2 = 12^2 + 5^2 \]

\[ KM^2 = 144 + 25 \]

\[ KM^2 = 169 \]

\[ KM = \sqrt{169} = 13 \] см.

Ответ: 13 см