9. Найдите точку максимума для функции f(x) = x³- 75x - 18

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти первую производную, приравнять её к нулю и найти критические точки. Затем определить, какая из них является точкой максимума.

1. Найдем первую производную функции \( f(x) = x^3 - 75x - 18 \):
   \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 75x - 18) = 3x^2 - 75 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 3x^2 - 75 = 0 \]
   \[ 3x^2 = 75 \]
   \[ x^2 = \frac{75}{3} \]
   \[ x^2 = 25 \]
   \[ x = \pm \sqrt{25} \]
   \[ x = \pm 5 \]
3. Теперь определим, какая из точек \( x=5 \) и \( x=-5 \) является точкой максимума. Для этого найдем вторую производную:
   \( f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 75) = 6x \)
4. Проверим значение второй производной в критических точках:
   При \( x = 5 \): \( f''(5) = 6 \cdot 5 = 30 \). Так как \( f''(5) > 0 \), то в точке \( x=5 \) — локальный минимум.
5. При \( x = -5 \): \( f''(-5) = 6 \cdot (-5) = -30 \). Так как \( f''(-5) < 0 \), то в точке \( x=-5 \) — локальный максимум.

Ответ: Точка максимума функции находится при \( x = -5 \).