20. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а, х=b, осью абсцисс и графиком функции y=f(x), если а=-2, b=1, f(x)=2x + 3

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y=f(x) \), осью абсцисс и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \)

В нашем случае \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( f(x) = 2x + 3 \).

Сначала найдем, где функция \( f(x) = 2x + 3 \) пересекает ось абсцисс (т.е. где \( f(x) = 0 \)):

\( 2x + 3 = 0 \)

\( 2x = -3 \)

\( x = -1.5 \)

Это означает, что на интервале \( [-2, -1.5] \) функция \( f(x) \) будет отрицательной, а на интервале \( [-1.5, 1] \) — положительной.

Поэтому нам нужно разбить интеграл на два:

\( S = \int_{-2}^{-1.5} |2x+3| dx + \int_{-1.5}^{1} |2x+3| dx \)

\( S = \int_{-2}^{-1.5} -(2x+3) dx + \int_{-1.5}^{1} (2x+3) dx \)

Вычислим первообразную для \( 2x+3 \):

\( F(x) = \int (2x+3) dx = x^2 + 3x \)

Теперь вычислим определенные интегралы:

Первый интеграл:

\( \int_{-2}^{-1.5} -(2x+3) dx = -[x^2 + 3x]_{-2}^{-1.5} = -[ ((-1.5)^2 + 3(-1.5)) - ((-2)^2 + 3(-2)) ] \)

\( = -[ (2.25 - 4.5) - (4 - 6) ] = -[ -2.25 - (-2) ] = -[ -2.25 + 2 ] = -[-0.25] = 0.25 \)

Второй интеграл:

\( \int_{-1.5}^{1} (2x+3) dx = [x^2 + 3x]_{-1.5}^{1} = [ (1^2 + 3(1)) - ((-1.5)^2 + 3(-1.5)) ] \)

\( = [ (1 + 3) - (2.25 - 4.5) ] = [ 4 - (-2.25) ] = [ 4 + 2.25 ] = 6.25 \)

Общая площадь:

\( S = 0.25 + 6.25 = 6.5 \)

Ответ: 6.5