21. Постройте график функции y = 4|x − 3| − x² + 8x − 15. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Раскроем модуль отдельно для двух областей.

При x ≤ 3: y = 4(3 − x) − x² + 8x − 15 = −x² + 4x − 3 = 1 − (x − 2)².

При x ≥ 3: y = 4(x − 3) − x² + 8x − 15 = −x² + 12x − 27 = 9 − (x − 6)².

Таким образом, график состоит из двух частей парабол: первая определена при x ≤ 3, вторая — при x ≥ 3. Их вершины: (2; 1) и (6; 9), а в точке x = 3 обе части дают y = 0.

Для y = m при −3 < m < 0 горизонтальная прямая пересекает левую часть графика в двух точках, а правую — в одной, всего в трёх. При m = 0 части имеют общую точку (3; 0), поэтому различных точек только две. При остальных уровнях число пересечений не равно трём.

Ответ: −3 < m < 0.