23. В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причем AE = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Рассмотрим векторы параллелограмма: положим A = 0, B = u, D = v, C = u + v.

Обозначим AE/AB = t. Из AE = CK и AB = CD следует, что CK/CD = t. Поэтому E = tu, а K = C − t(C − D) = v + (1 − t)u.

Обозначим BF/BC = s. Из BF = DM и BC = AD получаем DM/DA = s. Тогда F = u + sv, M = v − s v = (1 − s)v.

Вычислим противоположные стороны четырёхугольника:

→EF = F − E = (1 − t)u + sv.

→MK = K − M = (1 − t)u + sv.

Следовательно, EF и MK равны и параллельны как направленные отрезки. Кроме того, →FK = K − F = −su + (1 − t − s)v, а →EM = M − E = −tu + (1 − s)v; это не является нужной парой при произвольных t и s? Для проверки второй пары используем порядок вершин E-F-K-M: требуется также →FK = →EM. В общем случае приведённые выражения совпадают только при t = s. Однако из данных условий равенство t = s следует: AE = CK задаёт одну долю сторон AB и CD, а BF = DM — другую долю сторон BC и AD, не связывая эти доли. Значит, условие, как прочитано, недостаточно для заявленного утверждения: при произвольных долях это не доказывает, что EFKM — параллелограмм.

На рисунке засечки показывают также AE = DK? Если же читать отмеченные равные отрезки по рисунку, то засечки на AB и CD соответствуют AE = DK, а двойные засечки на BC и AD — BF = DM. Это согласуется с напечатанным условием AE = CK? По видимым засечкам точка K отмечает отрезок DK, а не CK; условие следует уточнить. При напечатанном равенстве AE = CK утверждение в общем случае неверно.