24. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √15/4.

Пусть A — начало координат, луч AB направлен вдоль оси x, а AC образует с ним угол α. Тогда координаты точек на AC: M = (8 cos α, 8 sin α), N = (30 cos α, 30 sin α).

Центр окружности, касающейся луча AB, находится на прямой, параллельной AB, на расстоянии R от неё. Обозначим координаты центра O = (h, R). Условия OM = ON дают равенство квадратов расстояний:

(h − 8 cos α)² + (R − 8 sin α)² = (h − 30 cos α)² + (R − 30 sin α)².

После сокращения и упрощения получаем h cos α + R sin α = 19.

Но это одно уравнение для двух неизвестных h и R: через M и N проходит семейство окружностей. Требование касания именно луча AB дополнительно требует, чтобы точка касания имела координату h ≥ 0, но всё равно не определяет единственный радиус.

Например, при cos α = √15/4 и sin α = 1/4 уравнение имеет вид h√15/4 + R/4 = 19, то есть h√15 + R = 76. Различные положительные R допускаются при подходящем h ≥ 0.

Следовательно, в условии, вероятно, пропущено дополнительное ограничение на окружность, например расположение её центра или точку касания. Без него радиус однозначно найти нельзя.