21. При каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет две общие точки с графиком функции \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x - 1, & \text{если } x \ge 4 \\ -x^2 + 4x - 1, & \text{если } x < 4 \end{cases}\)

Решение:

График функции состоит из двух частей:

• При \( x \ge 4 \): \( y = x^2 - 4x - 1 \). Это часть параболы. Вершина параболы \( y = x^2 - 4x - 1 \) находится в точке \( x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \). Но так как условие \( x \ge 4 \), мы рассматриваем только правую часть параболы, начиная с \( x = 4 \).
• При \( x = 4 \): \( y = 4^2 - 4 \cdot 4 - 1 = 16 - 16 - 1 = -1 \). Точка (4, -1).
• Эта часть параболы возрастает при \( x \ge 4 \).
• При \( x < 4 \): \( y = -x^2 + 4x - 1 \). Это часть параболы с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \).
• При \( x = 2 \): \( y = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \). Вершина параболы (2, 3).
• При \( x = 4 \): \( y = -(4)^2 + 4 \cdot 4 - 1 = -16 + 16 - 1 = -1 \). Точка (4, -1) — конец этого луча.

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией. Чтобы она имела две общие точки с графиком, она должна пересекать обе части графика.

• Для части \( y = x^2 - 4x - 1 \) при \( x \ge 4 \), значения \( y \) начинаются от -1 и возрастают.
• Для части \( y = -x^2 + 4x - 1 \) при \( x < 4 \), максимальное значение \( y \) равно 3 (в вершине), и при приближении к \( x = 4 \) \( y \) стремится к -1.

Чтобы получить две общие точки, прямая \( y = m \) должна пересекать:

1. Часть параболы \( y = -x^2 + 4x - 1 \) при \( x < 4 \) в двух точках (это возможно, если \( -1 < m < 3 \)).
2. И часть параболы \( y = x^2 - 4x - 1 \) при \( x \ge 4 \) в одной точке (это возможно, если \( m > -1 \)).

Таким образом, для двух общих точек нужно, чтобы \( m \) было между значением в вершине (3) и значением на границе (4, -1), но при этом пересекало обе части графика. Это происходит, когда \( m \) находится между -1 и 3.

Ответ: \( m \in (-1; 3) \).