32. Постройте график функции \(f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 13, & \text{если } x \ge 2 \\ 2,5x, & \text{если } x < 2 \end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

График функции состоит из двух частей:

• При \( x \ge 2 \): \( y = x^2 - 6x + 13 \). Это часть параболы. Вершина параболы \( y = x^2 - 6x + 13 \) находится в точке \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3 \).
• При \( x = 3 \): \( y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4 \). Вершина параболы (3, 4).
• При \( x = 2 \): \( y = 2^2 - 6 \cdot 2 + 13 = 4 - 12 + 13 = 5 \). Точка (2, 5).
• При \( x < 2 \): \( y = 2.5x \). Это луч, проходящий через начало координат.
• При \( x = 2 \): \( y = 2.5 \cdot 2 = 5 \). Точка (2, 5) — конец луча.

Прямая \( y = m \) является горизонтальной линией.

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком, она должна:

1. Пересекать часть параболы \( y = x^2 - 6x + 13 \) при \( x \ge 2 \) в одной точке. Это происходит, когда \( m \ge 4 \) (т.к. вершина параболы при \( x=3 \) равна 4, а при \( x=2 \) равно 5, и дальше возрастает).
2. Пересекать луч \( y = 2.5x \) при \( x < 2 \) в одной точке. Это происходит, когда \( m < 5 \) (т.к. при \( x=2 \) значение равно 5, а при \( x<2 \) значения меньше).

Объединяя эти условия, мы ищем \( m \), чтобы получить ровно две точки. Это возможно, когда прямая \( y = m \) проходит между вершиной параболы (где \( y=4 \)) и значением функции на границе \( x=2 \) (где \( y=5 \)) для параболы, и пересекает луч. Нам нужно, чтобы \( y = m \) было больше значения вершины параболы, но меньше значения функции на границе \(x=2\) для параболы. Для луча, \(y=m\) должно быть меньше значения на границе \(x=2\).

Рассмотрим случаи:

• Если \( m = 5 \), то прямая \( y = 5 \) имеет одну точку с параболой (при \( x=2 \)) и одну точку с лучом (при \( x=2 \)). Итого 1 точка.
• Если \( m > 5 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в одной точке (так как \( x ≥ 2 \)), но не пересекает луч. Итого 1 точка.
• Если \( 4 < m < 5 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в двух точках (обе при \( x ≥ 2 \), но одно значение \(x\) будет меньше 3, а другое больше 3) и пересекает луч в одной точке. Итого 3 точки.
• Если \( m = 4 \), прямая \( y = 4 \) пересекает параболу в одной точке (вершина при \( x=3 \)) и луч в одной точке. Итого 2 точки.
• Если \( m < 4 \), прямая \( y = m \) пересекает параболу в одной точке (так как \( x ≥ 2 \)) и луч в одной точке. Итого 2 точки.

Следовательно, нам нужны случаи, когда \( m \le 4 \).

Ответ: \( m \le 4 \).