21. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 18, 12 и 10. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть большой прямоугольник имеет стороны 'a' и 'b'. Разрезы делят эти стороны на отрезки. Обозначим отрезки, полученные от деления стороны 'a', как x₁ и x₂, а отрезки от деления стороны 'b', как y₁ и y₂.
   Таким образом, a = x₁ + x₂ и b = y₁ + y₂.
2. Шаг 2: Рассмотрим периметры четырёх меньших прямоугольников:
   
   • Прямоугольник 1 (левый верхний): P₁ = 2(x₁ + y₁) = 18
   • Прямоугольник 2 (правый верхний): P₂ = 2(x₂ + y₁) = 12
   • Прямоугольник 3 (правый нижний): P₃ = 2(x₂ + y₂) = 10
   • Прямоугольник 4 (левый нижний): P₄ = 2(x₁ + y₂) — неизвестен.
3. Шаг 3: Из периметров составим систему уравнений, упростив их, разделив на 2:
   
   • x₁ + y₁ = 9
   • x₂ + y₁ = 6
   • x₂ + y₂ = 5
4. Шаг 4: Выразим переменные:
   
   • Из первого уравнения: y₁ = 9 - x₁.
   • Из второго уравнения: x₂ = 6 - y₁ = 6 - (9 - x₁) = x₁ - 3.
   • Из третьего уравнения: y₂ = 5 - x₂ = 5 - (x₁ - 3) = 8 - x₁.
5. Шаг 5: Теперь подставим найденные выражения для x₂ и y₂ в периметр четвертого прямоугольника:
   P₄ = 2(x₁ + y₂) = 2(x₁ + (8 - x₁)) = 2(x₁ + 8 - x₁) = 2(8) = 16.
6. Шаг 6: Проверим, что такая конфигурация возможна. Например, пусть x₁ = 5. Тогда:
   y₁ = 9 - 5 = 4.
   x₂ = 5 - 3 = 2.
   y₂ = 8 - 5 = 3.
   Все отрезки положительные.
   P₁ = 2(5+4) = 18.
   P₂ = 2(2+4) = 12.
   P₃ = 2(2+3) = 10.
   P₄ = 2(5+3) = 16.

Ответ: 16