21 Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 67, 41 и 27, см. рисунок. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Решение:

Пусть большой прямоугольник имеет стороны $$X$$ и $$Y$$. Разрезы делят его на четыре меньших прямоугольника. Обозначим стороны этих меньших прямоугольников:

Верхний левый: $$a \times b$$

Верхний правый: $$c \times b$$

Нижний правый: $$c \times d$$

Нижний левый: $$a \times d$$

Тогда $$X = a + c$$ и $$Y = b + d$$.

Периметры трёх прямоугольников:

1. Верхний левый: $$2(a + b) = 67$$
2. Верхний правый: $$2(c + b) = 41$$
3. Нижний правый: $$2(c + d) = 27$$

Нам нужно найти периметр четвёртого прямоугольника (нижнего левого): $$P_4 = 2(a + d)$$.

Из уравнений:

1. $$a + b = 67 / 2 = 33.5$$
2. $$c + b = 41 / 2 = 20.5$$
3. $$c + d = 27 / 2 = 13.5$$

Выразим $$a$$ из первого уравнения: $$a = 33.5 - b$$.

Выразим $$c$$ из второго уравнения: $$c = 20.5 - b$$.

Подставим $$c$$ в третье уравнение:

$$(20.5 - b) + d = 13.5$$

$$d = 13.5 - 20.5 + b$$

$$d = -7 + b$$

Теперь подставим $$a$$ и $$d$$ в формулу периметра четвёртого прямоугольника:

$$P_4 = 2(a + d) = 2((33.5 - b) + (-7 + b))$$

$$P_4 = 2(33.5 - b - 7 + b)$$

$$P_4 = 2(33.5 - 7)$$

$$P_4 = 2(26.5)$$

$$P_4 = 53$$

Ответ: 53